Übungen: Bestimmte Integrale

  1. Berechne die Integrale der folgenden Funktionen im angegebenen Intervall:

    1. f(x) = 2x            [1, 3]
    2. f(x) = x/2 + 1       [-2, 2]
    3. f(x) = 5 - x       [1, 4]
    4. f(x) = x2            [1, 3]
    5. f(x) = x2/4 + 2       [0, 4]
    6. f(x) = 4 - x2/3       [-3, 3]
    7. f(x) = 4x - x2       [0, 4]
    8. f(x) = x3 + 1            [-1, 1]
    9. f(x) = x3/4 - x + 1       [-2, 2]
    10. f(x) = x3/4 - 3x2/2 + 7x/2       [0, 3]
    11. f(x) = x4/4 - 2x2 + 4       [-2, 2]
    12. f(x) = 4 - 1/x2       [0,5; 2]
    13. f(x) = x + 1/x       [1, 2]

    Ergebnisse

Flächenberechnungen

  1. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen Kurve und x-Achse:

    1. f(x) = 4 - x2
    2. f(x) = x2 - x - 2
    3. f(x) = 4x2 - x3
    4. f(x) = x3 - 6x2 + 9x
    5. f(x) = x3 - 6x2 + 8x
    6. f(x) = x3 - 8x2 + 15x
    7. f(x) = x3/3 - 3x
    8. f(x) = x4 - 5x2 + 4

  2. Berechne den Inhalt der Fläche zwischen den beiden Kurven:

    1. f(x) = x2, g(x) = x + 6
    2. f(x) = 4x - x2, g(x) = x
    3. f(x) = x2, g(x) = 4x - x2
    4. f(x) = x2, g(x) = 5 - x2/4
    5. f(x) = x2, g(x) = x3
    6. f(x) = x2, g(x) = x4
    7. f(x) = x3 + 1, g(x) = 4x + 1
    8. f(x) = x3 - 6x2 + 9x, g(x) = 3x - x2

  3. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) =x2/4 +2, der Tangente im Punkt P(4/yP) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

  4. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x3/16 - 3x2/8 + 4, der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

  5. (*) Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f(x) = x3 + 1, der Normalen im Punkt P(1/yP) und der x-Achse begrenzt wird.

    6. Ergebnisse

Volumsberechnungen

  1. Der Abschnitt des Graphen von f(x) zwischen den Punkten (x1/f(x1)) und (x2/f(x2)) rotiert um die x-Achse. Berechne das Volumen des dabei entstehenden Drehkörpers!

    1. f(x) = 3x            x1 = 0, x2 = 2
    2. f(x) = x/2 + 3       x1 = 0, x2 = 4
    3. f(x) = x2/3            x1 = 0, x2 = 3
    4. f(x) = x2 + 1       x1 = 0, x2 = 2
    5. f(x) = 1/x            x1 = 1, x2 = 5

  2. Wie Bsp. 7, wobei die Kurvenstücke um die y-Achse rotieren.

  3. Gegeben sind die Kurve y2 = 8x und die Gerade y = 2x. Berechne das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn das Flächenstück zwischen der Kurve und der Geraden um die x-Achse rotiert!

  4. Das Flächenstück zwischen den Parabeln y2 = 4x und x2 = 4y rotiert um die x-Achse. Wie groß ist das Volumen des entstehenden Drehkörpers?

  5. Die Form einer Vase entsteht, wenn der Graph der Funktion f: y = x2/20 + 5 zwischen den Grenzen x1 = -8 und x2 = 10 um die x-Achse rotiert. Berechne das Volumen der Vase.

  6. Der Innenraum eines Trinkglases hat die Form eines Paraboloids (r = 3 cm, h = 12 cm).

    1. Wieviel Flüssigkeit fasst das Glas?
    2. In welcher Höhe muss die Markierung für 1/8 l angebracht werden?
    (Anleitung: Ermittle die Gleichung der Parabel in der Form y = ax2.)

  7. Ein Fass ist 8 dm lang, sein Durchmesser beträgt in der Mitte 8 dm und am Rand 6 dm. Die Fassdauben haben die Form einer Parabel. Wie groß ist das Volumen des Fasses?
    (Anleitung: Zeichne das Fass so in das Koordinatensystem, dass der Ursprung im Mittelpunkt liegt und die x-Achse die Rotationsachse ist, und ermittle die Gleichung der Parabel y = ax2 + b.)

  8. Die Form einer Linse entsteht, wenn das Flächenstück zwischen zwei Parabeln um die y-Achse rotiert. Die eine Parabel hat ihren Scheitel im Koordinatenursprung, die andere im Punkt S(0/3), und sie schneiden einander im Punkt P(8/2). Ermittle die Gleichungen der Parabeln (Ansatz: y = ax2 + b) und das Volumen der Linse.

  9. Wie Bsp. 14, wobei der Scheitel der einen Parabel im Koordinatenursprung, der der anderen im Punkt S(0/-1,5) liegt und sie einander in P(5/1) schneiden.

    10. Ergebnisse